2ª O.M.N.- CANARIAS

2ª OLIMPIADA  MATEMÁTICAS NACIONAL. 

1991 CANARIAS

         1.-   En una votación para elección  de un alcalde entre dos candidatos A y B, se emiten nueve votos y gana A por uno. Hallar y describir el número de maneras en que pueden contarse las papeletas de votación, de tal forma que siempre vaya por delante el candidato ganador.

          2.-   En la Agencia de Investigaciones M.I.A. (Matemáticas Investigadas y Aclaradas), se han de resolver cierto número de misiones, pero disponemos de un número de agentes tal que: si encargamos una misión a cada agente, sobran x misiones, pero si  damos x misiones a cada agente, se quedan x agentes sin misión.

Como los agentes y misiones suman menos de quince, ¿sabrías decirnos cuantos agentes y misiones son?

     Por supuesto que nuestro especial agente 0'07 lo resolvió en dos patadas.

     3.-   Las reglas del "Tres en raya" son conocidas, sobre un tablero de 3 x 3, dos jugadores, alternativamente,  colocan sus piezas (cruces y monedas, por ejemplo) sobre las casillas del tablero. Gana quien logra primero colocar tres de sus piezas en línea. Pues bien, observando las figuras 1, 2 y 3, y considerando quer ninguno de los jugadores es bobo, resuelve las siguientes situaciones.

      1.- En el tablero de la figura 1, ¿cuál fue el primero en jugar: cruces o monedas?

      2.- En el tablero de la figura 2, ¿es posible que se dé esta situación? 

      3.- En el tablero de la figura 3, ¿en qué casilla se hizo la última jugada?

      Esplícalo adecuadamente.

      4.-       Se quiere batir el récord Guinness de apilamiento de pelotas de tenis. Para ello, se forma una pirámide de base cuadrada adosando las pelotas y disminuyendo en cada capa una pelota por lado de los sucesivos cuadrados hasta la bola final, que formará el vértice superior de la pirámide.

    Sabiendo que el numero de bolas del lado de la base es 1000, ¿cuántas pelotas se verán externamente?

          5.-       Demuestra que si al producto de los números anterior y posterior a un múltiplo cualquiera de 6 le sumamos 1, el resultado es múltiplo de 36.

        6.-       Demuestra que el ángulo A de la figura es recto. El lado opuesto al ángulo es un diámetro del círculo.

          7.-    Tenemos el  austero suficiente de cubitos como el de la figura1. Las apilamos formando un cubo de 2 x 2 x 2 = 8 cubitos. ¿Cuántos cubitos no se ven sin variar el  punto de vista de la figura? Basta con que veas una de  las caras del cubito para considerar que se ve,  (figura 2).

    Tomamos 27 cubitos y los apilamos hasta formar el cubo 3 x 3 x 3 (figura 3): ¿cuántos cubitos no ves?

                Se hace lo mismo con el cubo de 4 x 4 x 4 =64. ¿Cuántos cubitos no  ves? ¿Y en el caso de que se  apilen n x n x n = n³ cubitos.

    Explica las conclusiones a las que llegues.

8.-       ¡Mira qué fácil  se "simplifican” esta  serie de fracciones!

¿Hay más fracciones, como la primera de la serie donde el numerador y el denominador son números entre 10 y 100, con sus cifas diferentes, y que se "simplifican” de igual manera?

¿Generan fracciones de forma diferente a como lo hace 16/64 ?

Encuentra una ley General para esta clase de fracciones.

           9.-       En el país de los números andan locos para Intentar colocar las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, en ocho de los espacios de esta superficie circular, atendiendo a la siguiente condición:

No pueden estar dos números consecutivos formando frontera por línea ni vértice. ¿Puedes encontrar una solución?

    

            10.-     Si a los términos de una fracción irreducible se les suma el denominador y a la fracción resultante se le resta la fracción de partida, se obtiene de nuevo ésta.  ¿De qué fracción se trata?