1995.Soluciones de la F. Comarcal

 IV Olimpiada Matemática Provincial

- Fase Comarcal. Soluciones -

11 de Marzo de 1995

     1.-  EL BARRIL 
          Dícese en un cuento , que cierto señor deseando contratar a un empleado les proponía el siguiente examen  a los interesados: “Ahí tenéis un barril, debéis de llenarlo de agua, exactamente hasta la mitad, ni más ni menos, no podéis utilizar ni palo, ni cuerda ni cualquier otro objeto de medida”.
               Uno de ellos lo consiguió y logró el empleo. ¿Hubieras sido tú capaz de alcanzar este empleo?

           1.- Respuesta:
           Inclinado la barrica, hasta el nivel del agua se sitúa en el extremo superior de la base, e inferior de la parte superior de la barrica de la barrica. 
 Inclinación de 45º

     2.- SÓLO EL TRES
           Utilizando cinco treses, forma el número ocho.

     2.- Solución:    No existe solución única. Veamos unas cuantas :

    
     3.- LA CADENA
           Tengo seis trozos de cadena, cada uno de cuatro eslabones, y quiero hacer con todos ellos una única cadena. El herrero me cobra 100 pts por soldar un eslabón, y 50 pts.  por cortarlo. ¿ En cuanto me saldrá la cadena ? ( Evidentemente, trataré que me salga lo más barata posible).

     3.- Repuesta :
    Lo mejor es abrir los cuatro eslabones de un o de los trozos, y con ellos unir los cinco restantes.

                                                                       oooo
                          oooooooooooooooooooooooo

                           1        2       3         4            5
         50 x 4 = 200
         100 x 4 = 400
         200 + 400 = 600 ptas.

     4.-    LOS BOMBONES FÁCILES 
          Una pastelería ofrece como premio una caja de bombones para aquel que sea capaz de averiguar el número de bombones que contiene la caja valiéndose de las tres pistas siguientes:

    a.- La caja contiene menos de 50 bombones .
    b.- Al contar de nueve en nueve da un resultado exacto.
    c.- Al contar de once en once sobra una.

   4.- Repuesta :

    a.- x < 50
    b.- x =  múltiplo de 9
    c.- x - 1 = múltiplo de 11

    - Los múltiplos de 9 = (18, 27, 36, 45)  todos menores de 50.

    - Los múltiplos de 11 menores de 50  son:

                               11 = (22, 33, 44)

    - Por tanto, como 44 + 1 = 45 y 45 es múltiplo de 9 y 45<50.    - Por lo que se llega a la conclusión de que en la caja hay 45 bombones, cumpliendo todas las pistas indicadas.

     5.-     El corral de gallinas 

          Un granjero quiere cercar un corral de gallinas de forma rectangular. Para ello dispone de una valla metálica de 22 m de longitud. El granjero está interesado en saber cuales deben ser las dimensiones adecuadas, largo y ancho del corral, para que las gallinas dispongan de la mayor superficie posible.
    Piensa detenidamente sobre esta situación e intenta ayudar al granjero a calcular las dimensiones.
    Indica, por último, dar una relación que permita calcular el área de la cerca sabiendo el largo del corral.
 

     5.- Repuesta :
          Cuando la diferencia que hay entre el largo y ancho es menor, su área es mayor.

                               LARGO    ANCHO    PERÍMETRO    SUPERFICIE
                                  1                 10               22              10 m2
                                  2                   9               22              18 m2
                                  3                   8               22              24 m2
                                  4                   7               22              28 m2
                                  5                   6               22              30 m2
                                  6                   5               22              30 m2
                                  7                   4               22              28 m2
                                  8                   3               22              24 m2
                                  9                   2               22              18 m2
                                 10                  1               22              10 m2

   6.-    EL  DESVÍO  MÁS  BARATO.
  

          La construcción  de carreteras resulta muy cara, y por este motivo los ingenieros de caminos tratan de hacerlas lo más cortas que sea posible. Una autopista en construcción va pasar en línea recta cerca de los pueblos de Villafranca y Villavieja, tal como indica la figura. Los ingenieros se proponen hacer un desvío en un punto D de la autopista para unirla a Villafranca y a Villavieja por dos carreteras rectas DF y DV. ¿ Dónde deberá estar situado el desvío D para que sea la mínima longitud total de las dos carreteras DF y DV?

      6.- Respuesta:

              Se dibuja la imagen F que es F’; se une esta imagen F’ mediante una recta, y el punto donde esta recta corte a la carretera será la posición D.

               Para convencerse basta observar que:

                                                  FD + DV = F’D + DV = F’V

               Si Q fuera cualquier otro punto de la carretera, entonces:

                                                  FQ + QV = F’Q + QV > F´V

porque F’QV es un triángulo, y la suma de dos de sus lados es siempre mayor que el tercero.